統計検定標本分布問題

標本分布の練習問題を、4択で1⁠0問、3つの小分野に分けて置いています。選ぶとその場で正誤と解説が出て、全問の解説は下の一覧でも読めます。

ゆめさくが作った練習問題です。本試験の問題ではありません。ログインなしで解けて、答えはこのブラウザの中だけに残ります。

書き手ゆめさく・問いを置いた日 2026年10月30日

出典統計検定2級（2026年10月29日に確認）

この分野の小分野

標本平均・標本比率の分布（4問）
二項分布の正規近似（2問）
t分布・カイ二乗分布・F分布（4問）

標本分布の問題

10 問

選ぶと、すぐに正誤と解説が出ます。選んだ答えは変えられません。

標本平均・標本比率の分布
問 1母集団の分布が正規分布でなくても、標本の大きさが十分に大きければ、標本平均の分布が近似的に正規分布になります。この性質を表す定理はどれですか。
問 2母標準偏差が 24 の母集団から、大きさ 64 の標本を無作為に取ります。標本平均の標準偏差 (標準誤差) はどれですか。
問 3母平均が 50、母標準偏差が 12 の母集団から、大きさ 36 の標本を無作為に取ります。標本平均が 53 以上になる確率に最も近いものはどれですか。ただし、標準正規分布の上側確率は P(Z ≥ 0.25) = 0.4013, P(Z ≥ 1.5) = 0.0668, P(Z ≥ 3) = 0.0013 とします。
問 4母比率が 0.4 の母集団から、大きさ 100 の標本を無作為に取ります。標本比率の標準偏差に最も近いものはどれですか。
二項分布の正規近似
問 5二項分布 B(100, 0.5) に従う X について、P(X ≥ 60) を正規分布で近似します。連続修正を行うとき、標準化した値 z として正しいものはどれですか。
問 6二項分布 B(n, p) を正規分布で近似してよい目安として、np と n(1 − p) がどちらも 10 以上であることがあげられます。この目安を満たすものはどれですか。
t分布・カイ二乗分布・F分布
問 7正規母集団から取った大きさ n の標本について、母標準偏差が未知で、標本の標準偏差で代用したとき、標本平均を標準化した統計量が従う分布はどれですか。
問 8正規母集団 N(μ, 4) から大きさ 10 の標本を取り、不偏分散が 6 でした。統計量 (n − 1) × 不偏分散 ÷ 母分散の値はどれですか。この統計量は自由度 n − 1 のカイ二乗分布に従います。
問 92 つの正規母集団から、大きさ 8 と 12 の標本を取りました。それぞれの不偏分散を s1², s2² とし、母分散 σ1², σ2² で割った比 (s1² ÷ σ1²) ÷ (s2² ÷ σ2²) が従う F 分布の自由度 (分子, 分母) はどれですか。
問 10互いに独立で、標準正規分布に従う 5 つの確率変数 Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 について、2 乗の和 Z1² + Z2² + Z3² + Z4² + Z5² が従う分布と、その期待値の組み合わせはどれですか。

10 問中 0 問に答えました

解説の一覧

解いたあとに読み返せるよう、全問の解説を並べています。問いを開くと解説が出ます。

標本平均・標本比率の分布

問1母集団の分布が正規分布でなくても、標本の大きさが十分に大きければ、標本平均の分布が近似的に正規分布になります。この性質を表す定理はどれですか。

正解は中心極限定理です。標本平均の分布が、標本の大きさが大きいと正規分布に近づくことを中心極限定理といいます。大数の法則は、標本が大きいほど標本平均が母平均に近づくという定理で、分布の形については述べていません。チェビシェフの不等式は平均から離れる確率の上限を与え、ベイズの定理は条件付き確率の関係式です。

問2母標準偏差が 2⁠4 の母集団から、大きさ 6⁠4 の標本を無作為に取ります。標本平均の標準偏差 (標準誤差) はどれですか。

正解は 3 です。標本平均の標準偏差は母標準偏差を標本の大きさの平方根で割った値なので、2⁠4 ÷ √6⁠4 = 2⁠4 ÷ 8 = 3 です。2⁠4 は母集団の標準偏差で、標本平均の散らばりではありません。0.3⁠7⁠5 は 6⁠4 で割った値、6 は 4 で割った値で、どちらも平方根を取り違えています。

問3母平均が 5⁠0、母標準偏差が 1⁠2 の母集団から、大きさ 3⁠6 の標本を無作為に取ります。標本平均が 5⁠3 以上になる確率に最も近いものはどれですか。ただし、標準正規分布の上側確率は P(Z ≥ 0.2⁠5) = 0.4⁠0⁠1⁠3, P(Z ≥ 1.5) = 0.0⁠6⁠6⁠8, P(Z ≥ 3) = 0.0⁠0⁠1⁠3 とします。

正解は 0.0⁠6⁠6⁠8 です。標準誤差は 1⁠2 ÷ √3⁠6 = 2 で、標準化すると (5⁠3 − 5⁠0) ÷ 2 = 1.5 なので、上側確率は 0.0⁠6⁠6⁠8 です。0.4⁠0⁠1⁠3 は標準誤差ではなく母標準偏差 1⁠2 で割った z = 0.2⁠5 の値、0.0⁠0⁠1⁠3 は標準誤差を 1 として z = 3 とした値です。0.9⁠3⁠3⁠2 は 1.5 の下側の確率で、5⁠3 以上ではなく 5⁠3 以下の確率です。

問4母比率が 0.4 の母集団から、大きさ 1⁠0⁠0 の標本を無作為に取ります。標本比率の標準偏差に最も近いものはどれですか。

正解は 0.0⁠4⁠9 です。標本比率の標準偏差は √(p(1 − p) ÷ n) で、√(0.4 × 0.6 ÷ 1⁠0⁠0) = √0.0⁠0⁠2⁠4 ≒ 0.0⁠4⁠9 です。0.0⁠0⁠2⁠4 は平方根を取る前の分散です。0.0⁠4 は p ÷ √n、0.4⁠9 は n で割る前の √(0.4 × 0.6) で、どちらも標本比率の標準偏差の式ではありません。

二項分布の正規近似

問5二項分布 B(1⁠0⁠0, 0.5) に従う X について、P(X ≥ 6⁠0) を正規分布で近似します。連続修正を行うとき、標準化した値 z として正しいものはどれですか。

正解は 1.9 です。平均は 5⁠0、標準偏差は √(1⁠0⁠0 × 0.5 × 0.5) = 5 です。整数の 6⁠0 以上は、連続の値では 5⁠9.5 以上にあたり、z = (5⁠9.5 − 5⁠0) ÷ 5 = 1.9 です。2.0 は連続修正をしない値、2.1 と 1.8 は修正の幅を足す向きや引く向きを誤った値です。

問6二項分布 B(n, p) を正規分布で近似してよい目安として、np と n(1 − p) がどちらも 1⁠0 以上であることがあげられます。この目安を満たすものはどれですか。

正解は n = 1⁠0⁠0, p = 0.5 です。n = 1⁠0⁠0, p = 0.5 は np = 5⁠0, n(1 − p) = 5⁠0 でどちらも 1⁠0 以上です。ほかの 3 つは np がそれぞれ 1.5, 2, 1 と小さく、分布が左右対称にならないため、n が大きくても正規近似には向きません。

t分布・カイ二乗分布・F分布

問7正規母集団から取った大きさ n の標本について、母標準偏差が未知で、標本の標準偏差で代用したとき、標本平均を標準化した統計量が従う分布はどれですか。

正解は自由度 n − 1 の t 分布です。母標準偏差を標本の標準偏差で置き換えると、標準化した統計量は標準正規分布ではなく、自由度 n − 1 の t 分布に従います。標準正規分布は母標準偏差が既知のときの分布です。カイ二乗分布は標準正規分布に従う変数の 2 乗和、F 分布は 2 つの分散の比が従う分布で、標本平均の標準化には使いません。

問8正規母集団 N(μ, 4) から大きさ 1⁠0 の標本を取り、不偏分散が 6 でした。統計量 (n − 1) × 不偏分散 ÷ 母分散の値はどれですか。この統計量は自由度 n − 1 のカイ二乗分布に従います。

正解は 1⁠3.5 です。統計量は 9 × 6 ÷ 4 = 1⁠3.5 です。1⁠5 は n − 1 の代わりに n = 1⁠0 を掛けた値です。6 は母分散と不偏分散を逆にして 9 × 4 ÷ 6 とした値、1.5 は自由度を掛けずに不偏分散を母分散で割っただけの値で、どちらも統計量の式と合いません。

問92 つの正規母集団から、大きさ 8 と 1⁠2 の標本を取りました。それぞれの不偏分散を s1², s2² とし、母分散 σ1², σ2² で割った比 (s1² ÷ σ1²) ÷ (s2² ÷ σ2²) が従う F 分布の自由度 (分子, 分母) はどれですか。

正解は F(7, 1⁠1) です。各標本の不偏分散の自由度は n − 1 で、分子が 8 − 1 = 7、分母が 1⁠2 − 1 = 1⁠1 なので、F(7, 1⁠1) です。F(8, 1⁠2) は 1 を引いていない値、F(1⁠1, 7) は分子と分母を入れ替えています。F(1, 1⁠8) は 2 標本の t 統計量を 2 乗したときの自由度で、分散の比には使いません。

問10互いに独立で、標準正規分布に従う 5 つの確率変数 Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 について、2 乗の和 Z1² + Z2² + Z3² + Z4² + Z5² が従う分布と、その期待値の組み合わせはどれですか。

正解は自由度 5 のカイ二乗分布で、期待値は 5 です。独立な標準正規分布に従う変数の 2 乗和は、変数の個数を自由度とするカイ二乗分布に従い、期待値は自由度に等しく 5 です。自由度を 4 とする組は個数から 1 を引いており、これは標本平均からの偏差を使うときの数え方です。t 分布は 2 乗和ではなく比で作り、期待値 1⁠0 は自由度の 2 倍で分散の値です。