統計検定推定問題

推定の練習問題を、4択で1⁠0問、3つの小分野に分けて置いています。選ぶとその場で正誤と解説が出て、全問の解説は下の一覧でも読めます。

ゆめさくが作った練習問題です。本試験の問題ではありません。ログインなしで解けて、答えはこのブラウザの中だけに残ります。

書き手ゆめさく・問いを置いた日 2026年10月30日

出典統計検定2級（2026年10月29日に確認）

この分野の小分野

推定量の一致性・不偏性（3問）
母平均の区間推定（3問）
母比率・母分散・2群の差の区間推定（4問）

推定の問題

10 問

選ぶと、すぐに正誤と解説が出ます。選んだ答えは変えられません。

推定量の一致性・不偏性
問 1標本 X1, ..., Xn から、偏差の 2 乗の和を n で割って求めた標本分散は、母分散の推定量としてどのような性質を持ちますか。
問 2母平均 μ の推定量として、大きさ n の標本のうち最初の 1 つの値 X1 だけを使うことにしました。この推定量の性質として正しいものはどれですか。
問 3母集団から取った標本 4, 7, 5, 8 から、母分散の不偏推定値を求めると、いくつになりますか。
母平均の区間推定
問 4母標準偏差が 10 と分かっている母集団から大きさ 25 の標本を取ると、標本平均は 80 でした。母平均の 95% 信頼区間 (標準正規分布の上側 2.5% 点は 1.96) として正しいものはどれですか。
問 5母分散が未知の正規母集団から大きさ 9 の標本を取ると、標本平均は 50、不偏分散の平方根 (標準偏差) は 6 でした。母平均の 95% 信頼区間として正しいものはどれですか。ただし、自由度 8 の t 分布の上側 2.5% 点は 2.306 とします。
問 6母平均の 95% 信頼区間が 45 以上 55 以下と求まりました。この「95%」の意味として最も適切なものはどれですか。
母比率・母分散・2群の差の区間推定
問 7ある政策について、400 人に聞いたところ、240 人が賛成でした。正規近似を使って、賛成の母比率の 95% 信頼区間 (標準正規分布の上側 2.5% 点は 1.96) を求めると、どれになりますか。
問 8賛成の母比率が分からないとき、95% 信頼区間の幅を、標本比率の上下 ±3% 以内にしたいと考えています。母比率を最も広い幅になる 0.5 として見積もると、必要な標本の大きさの最小値はどれですか。ただし、標準正規分布の上側 2.5% 点は 1.96 とします。
問 9正規母集団から大きさ 11 の標本を取ると、不偏分散は 20 でした。母分散の 95% 信頼区間として正しいものはどれですか。ただし、自由度 10 のカイ二乗分布の上側 2.5% 点は 20.48、上側 97.5% 点は 3.247 とします。
問 10群 A (大きさ 36、母標準偏差 12) と群 B (大きさ 64、母標準偏差 16) から標本を取り、標本平均の差 (A − B) の標準誤差を求めます。母標準偏差は既知で、2 つの群は独立です。標準誤差に最も近いものはどれですか。

10 問中 0 問に答えました

解説の一覧

解いたあとに読み返せるよう、全問の解説を並べています。問いを開くと解説が出ます。

推定量の一致性・不偏性

問1標本 X1, ..., Xn から、偏差の 2 乗の和を n で割って求めた標本分散は、母分散の推定量としてどのような性質を持ちますか。

正解は期待値が母分散より小さくなり、不偏推定量ではないです。n で割った標本分散の期待値は母分散の (n − 1) ÷ n 倍で、母分散より小さくなるので、不偏推定量にするには n − 1 で割ります。n が大きくなると (n − 1) ÷ n は 1 に近づくので、一致性は持ちます。期待値が母分散より大きくなるという説明は、向きが逆です。

問2母平均 μ の推定量として、大きさ n の標本のうち最初の 1 つの値 X1 だけを使うことにしました。この推定量の性質として正しいものはどれですか。

正解は不偏性は持つが、一致性は持たないです。X1 の期待値は μ なので不偏性を持ちますが、n を増やしても X1 の散らばりは変わらず μ に近づかないので、一致性は持ちません。標本平均は不偏性と一致性の両方を持ちます。両方を持つという組は標本平均の性質で、X1 だけの推定量には当てはまりません。

問3母集団から取った標本 4, 7, 5, 8 から、母分散の不偏推定値を求めると、いくつになりますか。

正解は約 3.3⁠3 です。標本平均は 6 で、偏差の 2 乗の和は 4 + 1 + 1 + 4 = 1⁠0 なので、不偏推定値は n − 1 = 3 で割った 1⁠0 ÷ 3 ≒ 3.3⁠3 です。2.5 は n = 4 で割った値で、母分散を小さく見積もります。1⁠0 は割る前の和で、約 1.8⁠3 は 3.3⁠3 の平方根にあたる標準偏差の推定値です。

母平均の区間推定

問4母標準偏差が 1⁠0 と分かっている母集団から大きさ 2⁠5 の標本を取ると、標本平均は 8⁠0 でした。母平均の 9⁠5% 信頼区間 (標準正規分布の上側 2.5% 点は 1.9⁠6) として正しいものはどれですか。

正解は 7⁠6.0⁠8 以上 8⁠3.9⁠2 以下です。標準誤差は 1⁠0 ÷ √2⁠5 = 2 で、区間は 8⁠0 ± 1.9⁠6 × 2 = 8⁠0 ± 3.9⁠2 なので 7⁠6.0⁠8 から 8⁠3.9⁠2 です。6⁠0.4⁠0 から 9⁠9.6⁠0 は標準誤差の代わりに母標準偏差 1⁠0 を使った幅、7⁠8.0⁠4 から 8⁠1.9⁠6 は標準誤差を 1 とした幅です。7⁠0.2⁠0 から 8⁠9.8⁠0 は標準誤差を 5 とした幅です。

問5母分散が未知の正規母集団から大きさ 9 の標本を取ると、標本平均は 5⁠0、不偏分散の平方根 (標準偏差) は 6 でした。母平均の 9⁠5% 信頼区間として正しいものはどれですか。ただし、自由度 8 の t 分布の上側 2.5% 点は 2.3⁠0⁠6 とします。

正解は 4⁠5.3⁠9 以上 5⁠4.6⁠1 以下です。標準誤差は 6 ÷ √9 = 2 で、母分散が未知なので t 分布を使い、5⁠0 ± 2.3⁠0⁠6 × 2 = 5⁠0 ± 4.6⁠1 から 4⁠5.3⁠9 以上 5⁠4.6⁠1 以下です。4⁠6.0⁠8 から 5⁠3.9⁠2 は正規分布の 1.9⁠6 を使っていて、区間が狭すぎます。3⁠6.1⁠6 から 6⁠3.8⁠4 は標準誤差の代わりに標準偏差の 6 を使った幅、4⁠5.1⁠1 から 5⁠4.8⁠9 は √9 の代わりに √8 で割った幅です。

問6母平均の 9⁠5% 信頼区間が 4⁠5 以上 5⁠5 以下と求まりました。この「9⁠5%」の意味として最も適切なものはどれですか。

正解は同じ方法で標本の取り直しと区間の計算を繰り返すと、約 9⁠5% の区間が母平均を含むです。信頼係数 9⁠5% は、区間を作る方法の性質で、同じ方法を繰り返すと区間のおよそ 9⁠5% が母平均を含むという意味です。母平均は 1 つの定まった値で、求めた区間に入る確率が 9⁠5% という言い方はしません。データのうち 9⁠5% が区間に入るという説明は、区間の意味を個々のデータの散らばりと取り違えています。

母比率・母分散・2群の差の区間推定

問7ある政策について、4⁠0⁠0 人に聞いたところ、2⁠4⁠0 人が賛成でした。正規近似を使って、賛成の母比率の 9⁠5% 信頼区間 (標準正規分布の上側 2.5% 点は 1.9⁠6) を求めると、どれになりますか。

正解は 0.5⁠5⁠2 以上 0.6⁠4⁠8 以下です。標本比率は 0.6 で、標準誤差は √(0.6 × 0.4 ÷ 4⁠0⁠0) ≒ 0.0⁠2⁠4⁠5、区間は 0.6 ± 1.9⁠6 × 0.0⁠2⁠4⁠5 です。0.5⁠6⁠0 から 0.6⁠4⁠0 は 1.6⁠4⁠5 を使った 9⁠0% の区間です。0.5⁠4⁠1 から 0.6⁠5⁠9 は標準誤差を 0.6 ÷ √4⁠0⁠0、0.5⁠0⁠2 から 0.6⁠9⁠8 は 1 ÷ √4⁠0⁠0 としています。

問8賛成の母比率が分からないとき、9⁠5% 信頼区間の幅を、標本比率の上下 ±3% 以内にしたいと考えています。母比率を最も広い幅になる 0.5 として見積もると、必要な標本の大きさの最小値はどれですか。ただし、標準正規分布の上側 2.5% 点は 1.9⁠6 とします。

正解は 1⁠0⁠6⁠8 です。区間の半分の幅 1.9⁠6 × √(0.5 × 0.5 ÷ n) が 0.0⁠3 以下になればよく、n ≧ (1.9⁠6 ÷ 0.0⁠3) の 2 乗 × 0.2⁠5 ≒ 1⁠0⁠6⁠7.1 なので、最小値は 1⁠0⁠6⁠8 です。5⁠3⁠4 は必要な数の半分、2⁠6⁠7 は ±6% にしたときの数です。4⁠2⁠6⁠9 は p(1 − p) = 0.2⁠5 を掛け忘れた値です。

問9正規母集団から大きさ 1⁠1 の標本を取ると、不偏分散は 2⁠0 でした。母分散の 9⁠5% 信頼区間として正しいものはどれですか。ただし、自由度 1⁠0 のカイ二乗分布の上側 2.5% 点は 2⁠0.4⁠8、上側 9⁠7.5% 点は 3.2⁠4⁠7 とします。

正解は 9.7⁠7 以上 6⁠1.6⁠0 以下です。母分散の区間は (n − 1) × 不偏分散を、大きい点で割った値が下限、小さい点で割った値が上限なので、2⁠0⁠0 ÷ 2⁠0.4⁠8 ≒ 9.7⁠7 と 2⁠0⁠0 ÷ 3.2⁠4⁠7 ≒ 6⁠1.6⁠0 です。1⁠0.7⁠4 以上の組は n − 1 の代わりに n = 1⁠1 を掛けています。0.9⁠8 以上の組は自由度を掛けておらず、6.4⁠9 以上の組は点の値で割る代わりに掛けています。

問10群 A (大きさ 3⁠6、母標準偏差 1⁠2) と群 B (大きさ 6⁠4、母標準偏差 1⁠6) から標本を取り、標本平均の差 (A − B) の標準誤差を求めます。母標準偏差は既知で、2 つの群は独立です。標準誤差に最も近いものはどれですか。

正解は 2.8⁠3 です。標本平均の分散は A が 1⁠4⁠4 ÷ 3⁠6 = 4、B が 2⁠5⁠6 ÷ 6⁠4 = 4 で、独立な差の分散は和の 8 になり、標準誤差は √8 ≒ 2.8⁠3 です。4.0⁠0 は分散ではなく標準誤差どうしの和 2 + 2 です。8.0⁠0 は平方根を取る前の分散で、2.0⁠0 は片方の群の標準誤差だけを使った値です。