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問13 並列と直列のシステムの稼働率

応用情報​技術者試験 令和7年度 春期 午前、全80問のうちの問13。

出典：令和7年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問13（装置の構成の図は、つながり方を言葉に書き起こした。選択肢のグラフは、線の形を言葉にした表に書き起こし、選択肢の文は表を指す形にした）

図のように 3 個の装置を並列と直列に組み合わせて構成したシステムがある。装置単体の稼働率と，システムの稼働率の関係を示したグラフはどれか。ここで，3 個の装置の稼働率は，全て等しいものとする。

図 システムの構成 (左から右へ)
  1. 装置と装置の 2 台を並列につなぐ
  2. その後ろに装置 1 台を直列につなぐ
選択肢のグラフ (横軸は装置単体の稼働率，縦軸はシステムの稼働率で，どちらも 0〜1。点線は 0.5 の補助線と，左下と右上を結ぶ対角線)
グラフ実線の形
ア(0，0) から (1，1) へ，対角線より上にふくらむ曲線。横軸 0.5 で縦軸は約 0.7⁠5
イ(0，0) から (1，1) への直線で，対角線と重なる
ウ(0，0) から始まり対角線より下を通って (0.5，0.5) で対角線と交わり，そのあと対角線より上を通って (1，1) に至る S 字の曲線
エ(0，0) から (1，1) へ，ずっと対角線より下を通る曲線。横軸 0.5 で縦軸は 0.3 と 0.4 の間
  1. ア表のアのグラフ
  2. イ表のイのグラフ
  3. ウ表のウのグラフ
  4. エ表のエのグラフ
答えと解説を開く

正解はエです。

装置単体の稼働率を a とします。並列の 2 台は、両方が止まったときだけ止まるので、稼働率は 1 − (1 − a) × (1 − a) ＝ 2a − a² です。これに直列の 1 台をつなぐので、全体は (2a − a²) × a ＝ 2a² − a³ です。a ＝ 0.5 を入れると 2 × 0.2⁠5 − 0.1⁠2⁠5 ＝ 0.3⁠7⁠5 で、0.5 より小さくなります。また、全体から a を引くと 2a² − a³ − a ＝ −a × (1 − a)² で、0 と 1 の間では負です。つまり、グラフは a ＝ 0 と a ＝ 1 で対角線に触れ、その間ではずっと対角線の下にあります。a ＝ 0.5 で約 0.3⁠8 と、対角線の下を通る曲線はエです。正解はエです。

ほかの選択肢が違う理由

  • アいつも対角線より上にある曲線です。並列の 2 台だけの稼働率 2a − a² の形で、直列の 1 台を掛けるのを忘れています。
  • イ対角線そのもので、システムの稼働率が装置単体と同じになる形です。装置 1 台だけのシステムに当たります。
  • ウa ＝ 0.5 で対角線と交わり、その先は対角線より上にある形です。この構成の稼働率は a ＝ 0.5 で 0.3⁠7⁠5 なので、0.5 を通りません。

仕組み

直列につなぐと、どれか 1 台が止まれば全体が止まるので、稼働率は掛け算で下がります。並列につなぐと、全部が止まらない限り動くので、稼働率は 1 − (止まる確率の積) で上がります。

この構成は、並列で上げた稼働率に、直列の 1 台が足を引っ張る形です。並列の効果より直列の 1 台の影響が大きく、装置単体より稼働率が下がります。

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