進数変換はなぜプログラミングで必要なのですか？

コンピュータは内部で 2 進数を扱うため、ビット演算やメモリ操作で 2 進・16 進の理解が必須です。色コード（#FF8800）、ファイル権限（0755）、IP アドレスのサブネット計算など、実務でも進数変換に触れる機会は多くあります。

10 進数を 2 進数に変換するアルゴリズムは？

数を 2 で割り続け、余りを下から並べると 2 進表現になります。例えば 13 → 6 余 1 → 3 余 0 → 1 余 1 → 0 余 1 で 1101 です。多くの言語は bin() / Integer.toBinaryString() などの組み込みがあるため、それを使うのが安全です。

3 バイト（24 ビット）を 4 文字（各 6 ビット）に変換するため、データ量が 4/3 倍になります。8 ビット境界の任意バイト列を ASCII 印字可能文字だけで安全に運ぶための仕組みで、メール添付や URL 内のバイナリ埋め込みで使われます。

画像や証明書を、テキストしか通らない場所に載せたいことがあります。JSON の値、メールの本文、data: から始まる URL。そのときに使うのが Base64 です。載せる前に、どれだけ膨らむのかを見積もれると助かります。

バイト列には、改行や制御にあたる値も、画面に出せない値も含まれます。テキストとして扱われる経路に流すと、途中で書き換えられたり、そこで切られたりします。そこで、印字できる 64 種類の文字だけを使って書き直します。これが Base64 です。

暗号ではありません。受け取った側は誰でも元のバイト列に戻せます。隠したい中身は、別に暗号化しておく必要があります。

もとは、7 ビットの文字しか運べなかった時代のメールで、添付ファイルを送るために広まった仕組みです。いまも JWT の中身や、設定ファイルに書く鍵など、テキストの器にバイナリを入れたい場所で使われ続けています。

Base64 の 1 文字は 6 ビットを表します。バイトは 8 ビットなので、3 バイト分の 24 ビットが、ちょうど 4 文字分の 24 ビットに収まります。情報の量は変わりませんが、1 文字あたりが薄くなるぶん、長さは 4 対 3、およそ 33% 増えます。

プレーンテキスト

3 バイト        8 + 8 + 8     = 24 ビット
Base64 4 文字   6 + 6 + 6 + 6 = 24 ビット

300 KB の画像を data: URL に埋め込むと、HTML の側では 400 KB ほどを占めます。小さなアイコンを埋め込むかどうかは、この増分と、リクエストが 1 本減ることを見比べて決めます。

入力が 3 の倍数とは限りません。半端が出たときは、足りないビットを 0 で埋めて 4 文字を作り、中身の無い文字の位置は = で埋めます。つまり出力は必ず 4 文字単位で、半端があれば 1 組ぶん増えます。ここで要るのが切り上げの割り算です。菓子を箱に詰める話と同じ形をしています。

Python

items = 12
per_box = 5
print(items // per_box)                  # 2  1 箱足りない
print((items + per_box - 1) // per_box)  # 3

// は切り捨てなので、そのままだと入りきらなかった分を数え落とします。割る前に、箱の大きさより 1 小さい数を足しておくと、半端があるときだけ商が 1 増えます。整数の割り算しか無い言語でも、この形なら切り上げが書けます。

JavaScript

console.log(Math.ceil(12 / 5)); // 3

JavaScript や Python なら ceil を使っても同じ結果になります。読みやすいほうを選んでください。

末尾の = は、何ビット余ったかを受け取る側に伝えるための印です。これがあるおかげで、復号したときに元のバイト数まで戻せます。長さを数えるときも、この = を含めた 4 文字単位のかたまりを数えます。

数える対象にも気をつけます。数えるのはバイト数であって、文字数ではありません。日本語の 1 文字は UTF-8 では 3 バイトなので、文字列の長さをそのまま渡すと答えがずれます。